สื่อการเรียนการสอน วิชาคณิตศาสตร์

ชั้น ม.4 บทที่ 1 เรื่อง เซต

---

เซต เป็นคำที่ไม่ให้ให้นิยาม (Undefined Term) เรามักใช้เซตแทนสิ่งที่อยู่ร่วมกัน ซึ่งหมายถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ
ที่เราสามารถกำหนดสมาชิกได้ชัดเจน (Well-Defined)

• เริ่มกันเลย..!

ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ของเซต และผลต่างระหว่างเซต

1) ยูเนียน ( Union )

มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B
สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∪ B (Keyword: การนำสมาชิกทั้งสองเซตมารวมกัน ตัวใดซ้ำตัดเอาเพียงตัวเดียว)

เช่น
A = { 1, 2, 3 }            เมื่อนำมา ∪ กันจะได้
B = { 3, 4, 5 }            ∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

---

2) อินเตอร์เซกชัน ( Intersection )

มีนิยามว่า เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของทั้งเซต A และเซต B
สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B (Keyword: สมาชิกที่ซ้ำกันของทั้งสองเซต)

เช่น
A = { 1, 2, 3 }            เมื่อนำมา ∩ กันจะได้
B = { 3, 4, 5 }            ∴ A ∩ B = { 3 }

---

3) คอมพลีเมนต์ ( Complements )

มีนิยามว่า ถ้าเซต A ใดๆ คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (U) แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’ (Keyword: สมาชิกที่เหลือที่ไม่ได้อยู่ในเซตที่เรากำหนด)

เช่น
U = { 1, 2, 3, 4, 5 }      เมื่อนำมา ' จะได้
A = { 1, 2, 3 }            ∴ A = { 4, 5 }

---

4) ผลต่างระหว่างเซต ( Difference )

มีนิยามว่า ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B (Keyword: สมาชิกที่อยู่ในเฉพาะเซตตัวหน้า ไม่รวมตัวซ้ำ)

เช่น
A = { 1, 2, 3 }            เมื่อนำมา ' จะได้
B = { 3, 4, 5 }            ∴ A - B = { 1, 2 }

สับเซตและเพาเวอร์เซต

1) สับเซต ( Subset )

คือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากันกับเซตที่กำหนด โดยต้องใช้สมาชิกร่วมกับเซตที่กำหนดเท่านั้น

    ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B
    ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

    สมบัติของสับเซต

    1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
    2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
    3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
    4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
    5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
    6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
    7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2ⁿ สับเซต

    สับเซตแท้

    คือ สับเซตทั้งหมดที่ไม่ใช่ตัวมันเอง มี 2ⁿ – 1 สับเซต (เซตว่างไม่มีสับเซตแท้)

ตัวอย่างการใช้สูตร

เซต	จำนวนสมาชิกของเซต	จำนวนสับเซตทั้งหมด
1. A = Ø  2. B = { 1 }  3. C = { 1 , 2 }  4. D = { 1 , 2 , 3 }	0 1 2 3	20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8

---

2) เพาเวอร์เซต ( Power Set )

หมายถึง เซตของสับเซต จะเขียนแทนเพาเวอร์เซตของเซต A ด้วย P(A)
การจะหาเพาเวอร์เซตได้ จะต้องหาสับเซตทั้งหมดก่อน จึงจะใส่ {} ครอบลงไป เพื่อทำให้เป็นเพาเวอร์เซตได้

เช่น
A = { 2, 4 }
ขั้นตอนแรก:     หาสับเซตทั้งหมด
ได้แก่ Ø , { 2 } , { 4 } , { 2, 4 }
ดังนั้น P(A) = { Ø , { 2 } , { 4 } , { 2, 4 } }